L'Analisi Matematica 1 è un corso fondamentale per gli studenti di Matematica, Fisica e Ingegneria. Questo articolo si concentra sull'utilizzo del testo "Analisi Matematica" di Bramanti, Pagani e Salsa per la preparazione, con un focus sugli esercizi svolti.
Struttura dell'Esame e Punteggio
Ad ogni parte dell'esame viene assegnato un punteggio (con massimo 30-32 punti). Per superare lo scritto è necessario che entrambi i punteggi siano maggiori di o uguali a 16 e che la media sia maggiore di o uguale a 18 punti.
L'orale è facoltativo per gli studenti di Fisica e obbligatorio per gli studenti di Matematica, può essere sostenuto anche in un altro appello della stessa sessione (gennaio-febbraio, giugno-luglio, settembre).
Nel programma dell'orale sono inclusi enunciati e dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * nel programma del corso.
Materiali Utili per la Preparazione
Per la preparazione dello scritto si possono utilizzare gli scritti di Analisi 1 per Matematica e Fisica dell'a.a. 20/01/2020 - 10/02/2020 - 29/06/2020 - 21/07/2020 - 31/08/2020 - 22/09/2020.
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Inoltre si possono utilizzare sia gli scritti di Analisi 1 per Matematica e Fisica degli a.a. 2018/19 e 2017/18 (disponibili su Kiro: Analisi Matematica 1 - Prof. Savarè), sia gli scritti di Analisi 1 per Ingegneria a partire dall'a.a. 2013/14 (in entrambi i casi si tengano presente alcune differenze negli argomenti del corso).
Argomenti Chiave del Corso
Il corso di Analisi Matematica 1 copre una vasta gamma di argomenti fondamentali. Ecco alcuni dei principali:
- Numeri Reali: Ordinamento e non-numerabilità, maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore.
- Funzioni: Iniettività, suriettività, limitatezza, monotonia, convessità. Funzione inversa, composizione di funzioni. Grafico e epigrafico. Simmetrie pari e dispari. Composizioni ed operazioni sul grafico (traslazioni, riscalamenti, simmetrie). Funzioni fondamentali.
- Successioni: Definizione di limite. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone (*). Teorema di permanenza del segno. Teorema dei due Carabinieri. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Relazione di asintoticità e simbolo di Landau o-piccolo. Limsup e liminf. Sottosuccessioni.
- Serie: Definizione di serie. Condizione necessaria di convergenza. Serie fondamentali: armonica generalizzata e geometrica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice. Criterio di Leibniz. Convergenza semplice ad assoluta. Criterio di convergenza assoluta.
- Limiti e Continuità: Definizioni di limite. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Ordini di infinito e di infinitesimo. Definizione di funzione continua. Teorema degli zeri (*). Teorema dei massimi e dei minimi (*). Teorema dei valori intermedi. Continuità uniforme.
- Derivate: Definizione e notazioni. Derivate di somma, prodotto, quoziente, reciproco, composizione, funzione inversa. Retta tangente. Differenziabilità. Teorema di continuità delle funzioni derivabili. Funzioni derivabili con derivata discontinua. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teorema di de l'Hopital. Massimi e minini assoluti e relativi. Punti critici. Caratterizzazione di monotonia e convessità con derivate prime e seconde (*). Punti di flesso. Polinomi di Taylor: definizione e proprietà. Resto di Peano. Espansioni di Taylor per le funzioni fondamentali. Funzioni lipschitziane.
- Integrali: Definizioni di integrale secondo Riemann e Cauchy. Proprietà fondamentali degli integrali. Funzione di Dirichlet. Teorema di integrabilità delle funzioni continue (*). Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti e per sostituzione. Funzione integrale. Teorema fondamentale per la funzione integrale.
Il Testo di Bramanti, Pagani e Salsa: Un Approccio Completo
"Analisi matematica" di Bramanti, Pagani e Salsa è un corso per la formazione di base che riesce a conferire anche spazio all'approfondimento grazie ai criteri didattici adottati:
- Il minimo di astrazione necessaria viene inserita per raggiungere l'obiettivo di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali dell'analisi matematica.
- Equilibrio tra sinteticità e chiarezza: la giustificazione del risultato, quando non richieda un apparato formale troppo pesante, rende più consapevoli dei nessi logici.
- Motivazione: ogni nuovo concetto è introdotto attraverso esempi tratti dalle applicazioni più comuni e la teoria è accompagnata costantemente con riferimenti a problemi tratti da altre scienze, evidenziando il ruolo dello strumento matematico nella modellizzazione.
- Nessuna separazione tra "teoria" e "pratica": esempi, esercizi e applicazioni sono costantemente alternati alla presentazione teorica.
- Modularità: si è mantenuta la massima indipendenza possibile tra gli argomenti trattati, compatibilmente con la struttura logica del discorso matematico.
Esercizi: Un Percorso di Apprendimento
Questo testo raccoglie esercizi adatti a corsi di Analisi Matematica 1 per la Laurea in Ingegneria o affini. Si tratta perlopiù di esercizi tratti da temi d’esame assegnati negli ultimi dieci anni al Politecnico di Milano.
L’impostazione seguita è quella del libro di testo: Bramanti-Pagani-Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2008.
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Caratteristiche del libro di esercizi:
- Oltre 1200 esercizi di Analisi Matematica 1, suddivisi per argomento, con svolgimento completo oppure con le soluzioni.
- Più di 120 esempi guida, svolti e commentati dettagliatamente, per introdurre gli argomenti più importanti.
- Numerose osservazioni didattiche e puntualizzazioni per illustrare i punti più delicati e prevenire gli errori più comuni.
Questo volume quindi non è solo una raccolta di esercizi, ma un percorso di esercitazioni, mirato ad aiutare specialmente lo studente che, per qualunque motivo, non ha seguito bene lezioni o esercitazioni e deve perciò affrontare l’esame da autodidatta.
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