L'opera "Analisi matematica" di Bramanti, Pagani e Salsa è un corso per la formazione di base che riesce a conferire anche spazio all'approfondimento grazie ai criteri didattici adottati.
Gli Autori
Marco Bramanti è professore associato di Analisi Matematica presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. I suoi interessi di ricerca vertono sulle equazioni alle derivate parziali e sull’analisi reale, in particolare sulla teoria degli integrali singolari.
Carlo Domenico Pagani è professore ordinario di Analisi Matematica presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Si interessa principalmente di equazioni alle derivate parziali e di problemi inversi. Ha svolto attività didattica e di ricerca presso l’Università della California (Berkeley), l’Accademia delle Scienze (Russia), l’Accademia Sinica (Cina), il Tata Institute for Fundamental Research (India).
Sandro Salsa è professore ordinario di Analisi Matematica presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Si occupa principalmente di equazioni a derivate parziali e problemi di frontiera libera. Ha svolto attività di ricerca presso l’Università del Minnesota (Minneapolis), il Courant Institute (New York), l’Institute for Advanced Study (Princeton), e l’Università del Texas (Austin).
Approccio Didattico
Gli autori hanno concentrato il discorso teorico intorno ad alcune idee-chiave, delle quali hanno inteso trasmettere una comprensione anche operativa.
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Il minimo di astrazione necessaria viene inserita per raggiungere l'obiettivo di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali dell'analisi matematica.
Equilibrio tra sinteticità e chiarezza: la giustificazione del risultato, quando non richieda un apparato formale troppo pesante, rende più consapevoli dei nessi logici.
Motivazione: ogni nuovo concetto è introdotto attraverso esempi tratti dalle applicazioni più comuni e la teoria è accompagnata costantemente con riferimenti a problemi tratti da altre scienze, evidenziando il ruolo dello strumento matematico nella modellizzazione.
Nessuna separazione tra "teoria" e "pratica": esempi, esercizi e applicazioni sono costantemente alternati alla presentazione teorica.
Contenuti Trattati
Il corso di Analisi Matematica 1 (L-Z) a.a. tratta i seguenti argomenti:
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- Insiemi numerici (N, Z, Q, R): proprietà algebriche, risoluzione di equazioni.
- Numeri reali: ordinamento, intervalli e disequazioni.
- Modulo: equazioni e disequazioni, intorni.
- Maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore.
- Completezza dei reali.
- Numeri complessi: forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale.
- Funzioni: iniettività, suriettività, limitatezza, monotonia, convessità.
- Successioni: limitatezza, monotonia, definizione di limite.
- Serie: serie armonica generalizzata e geometrica, criteri di convergenza.
- Limiti e continuità: definizioni di limite e continuità.
- Derivate: definizione e notazioni, derivate di somma, prodotto, quoziente, reciproco, composizione, funzione inversa.
- Integrali: integrali definiti per funzioni limitate.
- Equazioni differenziali ordinarie, il problema di Cauchy.
Teoremi Fondamentali
Il corso prevede la conoscenza e comprensione di diversi teoremi fondamentali, tra cui:
- Teorema di esistenza del limite per successioni monotone.
- Teorema di permanenza del segno.
- Teorema dei valori intermedi.
- Teorema degli zeri.
- Teorema dei massimi e dei minimi.
- Teorema di Lagrange.
- Teorema di Rolle.
- Teorema Fondamentale del Calcolo.
- Teorema della Media Integrale.
- Teorema fondamentale per la funzione integrale.
Modalità d'Esame
Al termine della correzione, lo studente che ha superato la prova scritta può accettarne il voto o sostenere l'orale, nell'ottica (ma senza la garanzia) di migliorare il voto.
L'orale deve essere sostenuto nel medesimo appello dello scritto e prevede: enunciati dei teoremi, definizioni, esempi e controesempi fondamentali, le dimostrazioni dei teoremi indicati con un asterisco nel programma del corso.
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