L'esame di Analisi Matematica 1 è una tappa fondamentale nei corsi di laurea di Matematica e Fisica. Questo articolo offre una panoramica degli argomenti principali e delle risorse utili per prepararsi al meglio, con un focus sui materiali didattici forniti da Zanichelli.
Struttura dell'Esame
L'esame è suddiviso in una prova scritta e una prova orale. Ad ogni parte viene assegnato un punteggio (con massimo 30-32 punti). Per superare lo scritto è necessario che entrambi i punteggi siano maggiori di o uguali a 16 e che la media sia maggiore di o uguale a 18 punti. L'orale è facoltativo per gli studenti di Fisica e obbligatorio per gli studenti di Matematica, può essere sostenuto anche in un altro appello della stessa sessione (gennaio-febbraio, giugno-luglio, settembre).
Nel programma dell'orale sono inclusi enunciati e dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * nel programma del corso.
Materiali Utili per la Preparazione
Per la preparazione dello scritto si possono utilizzare gli scritti di Analisi 1 per Matematica e Fisica dell'a.a. 20/01/2020 - 10/02/2020 - 29/06/2020 - 21/07/2020 - 31/08/2020 - 22/09/2020. Inoltre si possono utilizzare sia gli scritti di Analisi 1 per Matematica e Fisica degli a.a. 2018/19 e 2017/18 (disponibili su Kiro: Analisi Matematica 1 - Prof. Savarè), sia gli scritti di Analisi 1 per Ingegneria a partire dall'a.a. 2013/14 (in entrambi i casi si tengano presente alcune differenze negli argomenti del corso).
Argomenti Chiave del Corso
Di seguito, un elenco degli argomenti principali trattati nel corso di Analisi Matematica 1:
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- Numeri reali: Ordinamento e non-numerabilità (*). Maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore.
- Funzioni: Iniettività, suriettività, limitatezza, monotonia, convessità. Funzione inversa, composizione di funzioni. Grafico e epigrafico. Simmetrie pari e dispari. Composizioni ed operazioni sul grafico (traslazioni, riscalamenti, simmetrie). Funzioni fondamentali.
- Successioni: Definizione di limite. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone (*). Teorema di permanenza del segno. Teorema dei due Carabinieri. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Relazione di asintoticità e simbolo di Landau o-piccolo. Limsup e liminf. Sottosuccessioni.
- Serie: Definizione di serie. Condizione necessaria di convergenza. Serie fondamentali: armonica generalizzata e geometrica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice. Criterio di Leibniz. Convergenza semplice ad assoluta. Criterio di convergenza assoluta.
- Limiti e continuità: Definizioni di limite. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Ordini di infinito e di infinitesimo. Definizione di funzione continua. Teorema degli zeri (*). Teorema dei massimi e dei minimi (*). Teorema dei valori intermedi. Continuità uniforme.
- Derivate: Definizione e notazioni. Derivate di somma, prodotto, quoziente, reciproco, composizione, funzione inversa. Retta tangente. Differenziabilità. Teorema di continuità delle funzioni derivabili. Funzioni derivabili con derivata discontinua. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teorema di de l'Hopital. Massimi e minini assoluti e relativi. Punti critici. Caratterizzazione di monotonia e convessità con derivate prime e seconde (*). Punti di flesso. Polinomi di Taylor: definizione e proprietà. Resto di Peano. Espansioni di Taylor per le funzioni fondamentali. Funzioni lipschitziane.
- Integrali: Definizioni di integrale secondo Riemann e Cauchy. Proprietà fondamentali degli integrali. Funzione di Dirichlet. Teorema di integrabilità delle funzioni continue (*). Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti e per sostituzione. Funzione integrale. Teorema fondamentale per la funzione integrale.
Tabella Riassuntiva dei Criteri di Convergenza per Serie
Per maggiore chiarezza, si riporta una tabella riassuntiva dei criteri di convergenza per serie a termini positivi:
| Criterio | Descrizione | Condizioni |
|---|---|---|
| Confronto | Confronta la serie data con una serie nota. | Valido per serie a termini positivi. |
| Confronto Asintotico | Confronta il comportamento asintotico della serie data con una serie nota. | Valido per serie a termini positivi. |
| Rapporto | Utilizza il limite del rapporto tra termini successivi. | Valido per serie a termini positivi. |
| Radice | Utilizza il limite della radice n-esima del termine generale. | Valido per serie a termini positivi. |
| Leibniz | Si applica alle serie a segni alterni. | Termini decrescenti e tendenti a zero. |
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